Complétude - Espace complet
Définition
Définition d'un espace complet :
- \(E\) est un espace métrique
- toute suite de Cauchy \((x_n)_n\in E\) converge dans \(E\)
$$\Huge\iff$$
- \(E\) est un espace complet
Propriétés
Complétude d'un sous-ensemble
Complétude d'un sous-ensemble :
- \((E,d)\) est un espace métrique complet
- \(F\subset E\)
- \(F\) est fermé dans \(E\) pour la topologie définie par \(d\)
$$\Huge\implies$$
- \(F\) est complet pour la topologie induite
END
(
Topologie induite)
Liens avec les fermé
Une partie complète est fermé
Caractérisation d'un sous-ensemble complet :
- \((E,d)\) est complet
- \(A\) est un fermé de \(E\)
$$\Huge\iff$$
Caractérisation de la complétude via les suites de fermés :
- soit \(E\) un espace métrique
- toute suite \(\downarrow\) de fermés non vides dont la suite de diamètres tend vers \(0\) a une intersection non vide
$$\Huge\iff$$
Exemples
\({\Bbb R}\), \({\Bbb R}^n\) munis de \(\lvert\cdot\rvert\), les espaces vectoriels de dimension finie sont complets
\({\Bbb R}\) muni de \(d(x,y)=\lvert\arctan x-\arctan y\rvert\) et \({\Bbb R}[X]\) ne sont pas complets